Toán học trong vài phút: e

e

e là số siêu việt và là một trong những hằng số toán học cơ bản. Gọi là hằng số Euler, e có giá trị xấp xỉ bằng 2.71828182845904523536028747. Ngôi nhà tự nhiên của e là toán giải tích, và mặc dù các kỹ sư cũng như nhà vật lý vui vẻ làm việc với lũy thừa 10 và logarithm cơ số 10, những nhà toán học hầu như lúc nào cũng dùng lũy thừa e và logarithm cơ số e, gọi là logarithm tự nhiên.

Giống như π, e có nhiều định nghĩa. Đó là số thực duy nhất mà đạo hàm của eˣ, tức hàm số mũ (exponential function), thì bằng chính hàm số đó. e là một tỷ lệ tự nhiên trong xác suất; và nó có nhiều biểu diễn dưới dạng các tổng vô hạn.

 e có liên hệ mật thiết với π, vì những hàm lượng giác thường được biểu diễn qua π, còn có thể được định nghĩa qua hàm số mũ.

-- Ảnh: Khi vẽ đồ thị hàm aˣ với những giá trị a khác nhau, thì e là giá trị duy nhất mà độ dốc của đồ thị tại x = 0 là 1.
-- Nguồn: Paul Glendinning (2013) Toán học trong vài phút: 200 khái niệm được diễn giải tức thì, Quercus.
-- Bài được tập hợp tại Toán học trong vài phút

Kinh tế học căn bản: Từ Kitty Hawk đến Dreamliner

KINH TẾ HỌC CĂN BẢN

CHƯƠNG 2: CÁC MÔ HÌNH KINH TẾ: TƯƠNG NHƯỢNG VÀ THƯƠNG MẠI

TỪ KITTY HAWK ĐẾN DREAMLINER

Ngày 15/12/2009, máy bay mới nhất của hãng Boeing, 787 Dreamliner, đã có chuyến bay thử nghiệm đầu tiên kéo dài ba giờ. Đó là một thời khắc lịch sử: Dreamliner là thành quả của một cuộc cách mạng về khí động học - một chiếc máy bay siêu hiệu quả được thiết kế để cắt giảm chi phí vận hành công ty hàng không và là chiếc máy bay đầu tiên dùng vật liệu composite siêu nhẹ. Để đảm bảo Dreamliner đủ nhẹ và đáp ứng đủ yêu cầu về khí động học, nó đã trải qua 15.000 giờ thử nghiệm đường ống khí động - các thử nghiệm đưa đến những thay đổi chi ly trong thiết kế, từ đó cải thiện hiệu suất, tiết kiệm hơn 20% nhiên liệu và phát thải ô nhiễm ít hơn 20% do với các máy bay hành khách đang dùng.

Chuyến bay đầu tiên của Dreamliner là một tiến bộ ngoạn mục kể từ chuyến bay đầu tiên của chiếc Wright Flyer vào năm 1903, chiếc máy bay được trang bị động cơ thành công đầu tiên, tại City Hawk, North Carolina. Các kỹ sư của hãng Boeing - và mọi kỹ sư hàng không - phải hết sức biết ơn hai nhà phát minh ra Wright Flyer là Wilbur và Orville Wright. Điều đã khiến anh em nhà Wright có tầm nhìn xa trông rộng là phát minh ra đường ống khí động, công cụ giúp họ thí nghiệm với nhiều thiết kế khác nhau về cánh và bề mặt điều khiển. Việc thí nghiệm với một máy bay thu nhỏ, bên trong một đường ống khí động có kích thước của một kiện hàng, đã trang bị cho anh em nhà Wright kiến thức từ đó khiến chuyến bay nặng hơn không khí trở nên khả thi.

Chẳng có chiếc máy bay thu nhỏ trong một kiện hàng nào, cũng chẳng có chiếc Dreamliner trong Đường ống Cận âm Hiện đại nào của hãng Boeing, là giống như đúc với một máy bay thực thụ đang bay. Nhưng đó là một mô hình máy bay hết sức hữu ích - một thể hiện đơn giản hóa của máy bay thật sự, mà có thể dùng trả lời những câu hỏi quan trọng, chẳng hạn phải nâng cánh máy bay với hình dạng đã cho lên bao nhiêu để phát sinh một vận tốc không khí cho trước.

Khỏi phải nói, việc thử nghiệm một thiết kế máy bay trong đường ống khí động sẽ rẻ hơn và an toàn hơn việc chế tạo một phiên bản đầy đủ rồi hy vọng là nó sẽ bay. Một cách tổng quát, mô hình đóng vai trò quan trọng trong hầu hết mọi nghiên cứu khoa học và rất thông dụng trong kinh tế học.

Thật vậy, bạn đã có thể nói rằng lý thuyết kinh tế chủ yếu bao gồm một tập hợp các mô hình, tức một loạt những biểu diễn đơn giản hóa của thực tại kinh tế, từ đó cho phép ta thấu hiểu nhiều vấn đề kinh tế. Trong chương này, ta sẽ xem xét hai mô hình kinh tế đặc biệt quan trọng và còn minh họa lý do tại sao hai mô hình đó đặc biệt hữu ích. Ta sẽ kết thúc bằng một xem xét việc các nhà kinh tế thật sự sử dụng các mô hình đó ra sao trong công việc của họ.

(còn tiếp)

-- Ảnh: Mô hình của anh em nhà Wright đã khiến việc chế tạo các máy bay hiện đại, kể cả Dreamliner, trở nên khả thi.
-- Nguồn: Paul Krugman (Nobel kinh tế 2008), Robin Wells, Kathryn Graddy (2014) Kinh tế học căn bản, tái bản lần ba.
-- Bài được tập hợp tại Kinh tế học căn bản

Kiến thức phổ thông: Chủ nghĩa duy lý - Rationalism

CHỦ NGHĨA DUY LÝ - RATIONALISM

Trong ngữ cảnh triết học, thuật ngữ "chủ nghĩa duy lý" thể hiện cách tiếp cận được triết gia pháp René Descartes (1596–1650) ủng hộ. Descartes bắt đầu bằng câu hỏi "Làm sao tôi biết và tôi biết cái gì?" Phương pháp của ông là hoài nghi mọi thứ, kể cả bằng chứng từ thế giới bên ngoài cảm nhận qua các giác quan. Ông tranh luận rằng chẳng có lý do bất khả chối từ và hợp lý nào khiến ông phải chấp nhận bằng chứng đó là đúng. Điều chắc chắn duy nhất là ông biết rằng ông đang tư duy: Cogito ergo sum, "tôi tư duy vì thế tôi hiện hữu".

Từ điều chắc chắn này, ông tìm cách minh họa - qua suy diễn hợp lý từ các nguyên tắc đầu tiên - sự hiện hữu của mọi thứ, kể cả Thượng Đế. Trong tiến trình đó ông tạo ra sự đối ngẫu giữa hai chất liệu hoàn toàn phân biệt, tâm thức và vật chất, vốn tương tác với nhau. Phương pháp suy luận từ các nguyên tắc tổng quát để cho ra những kết luận cụ thể của Descartes bất chấp quan sát trong thế giới vật lý đã bị các nhà theo chủ nghĩa kinh nghiệm bác bỏ.

-- Ảnh: Descartes tin rằng các hoạt động trong cơ thể con người có thể luận ra từ những nguyên tắc toán học và hình học.
-- Nguồn: Ian Crofton (2013) Tóm lược các tư tưởng lớn: 200 khái niệm làm thay đổi thế giới được diễn giải tức thì, Quercus.
-- Bài được tập hợp tại Kiến thức phổ thông

Toán học trong vài phút: π

π

π là số siêu việt và là một trong những hằng số toán học cơ bản. Biểu diễn bằng chữ Hy Lạp π, pi xuất hiện ở nhiều nơi gây bất ngờ. Pi quan trọng đến nỗi một số nhà toán học và khoa học máy tính đã dành rất nhiều thời gian và nỗ lực để tính ngày càng chính xác số pi. Đến năm 2010 số chữa số thập phân lớn nhất được báo cáo là đã tính được, dĩ nhiên dùng computer, hơn 5 ngàn tỉ!

Trong thực tiễn, độ chính xác như thế là không cần thiết, và π có thể được xấp xỉ bằng các số hữu tỷ 22/7 và 355/113, hoặc dưới dạng thập phân là 3.14159265358979323846264338. Pi đầu tiên được phát hiện trong hình học, có lẽ vào khoảng 1900 trước Công nguyên tại Ai Cập và Mesopotamia, thường được biểu diễn là tỷ số giữa chu vi và đường kính hình tròn. Archimedes đã dùng hình học để tìm ra chặn trên và chặn dưới của π, kể từ đó π được thấy xuất hiện trong các lĩnh vực hoàn toàn không liên quan, chẳng hạn trong xác suất và thuyết tương đối.

-- Ảnh: http://www.pi314.net/imagespi/Pi_day/2006_Slashfood.jpg
-- Nguồn: Paul Glendinning (2013) Toán học trong vài phút: 200 khái niệm được diễn giải tức thì, Quercus.
-- Bài được tập hợp tại Toán học trong vài phút

Kinh tế học trong thực tiễn: Cuộc phiêu lưu của việc giữ trẻ

KINH TẾ HỌC CĂN BẢN

CHƯƠNG 1: NGUYÊN TẮC CƠ BẢN (TIẾP THEO)

KINH TẾ HỌC TRONG THỰC TIỄN: CUỘC PHIÊU LƯU CỦA VIỆC GIỮ TRẺ

Trang web đưa ra lời khuyên cho các gia đình quân đội, myarmyonesource.com, đề nghị cha mẹ tham gia chương trình hợp tác giữ trẻ, một hoạt động thường gặp trong đời sống.  Trong chương trình hợp tác giữ trẻ, các cha mẹ chia nhau giữ trẻ thay vì thuê mướn người ngoài làm công việc này. Nhưng làm sao chương trình có thể chắc rằng mọi thành viên đều chia sẻ công việc ngang nhau? Theo giải thích của myarmyonesource.com, "Thay vì tiền, hầu hết những hợp tác đều thông qua phiếu hay điểm. Khi cần người giữ trẻ, bạn gọi một người trong danh sách, và trả cho họ bằng phiếu. Bạn cũng nhận được phiếu khi giữ trẻ cho người khác tham gia chương trình".

Nói cách khác, chương trình hợp tác giữ trẻ là một nền kinh tế thu nhỏ trong đó mọi người mua bán dịch vụ giữ trẻ. Kết quả là một nền kinh tế có thể xảy ra các vấn đề kinh tế vĩ mô. Một bài báo nổi tiếng nhan đề, "Học thuyết tiền tệ và cuộc đại khủng hoảng về giữ trẻ ở Capitol Hill" xuất bản năm 1977, đưa ra những khó khăn trong chương trình hợp tác giữ trẻ do lượng phiếu phát hành quá ít. Nói chung, người tham gia chương trình đều muốn để dành phiếu đề phòng trường hợp đôi lúc họ buộc phải vắng nhà.

Trong trường hợp này, vì không có nhiều phiếu, hầu hết các cha mẹ đều sợ hết phiếu nên họ ngại vắng nhà. Do quyết định vắng nhà của một người là cơ hội giữ trẻ của một người khác, thật khó để thu được phiếu. Biết rõ điều này, các cha mẹ lại càng ngại vắng nhà ngoại trừ những trường hợp đặc biệt.

Tóm lại, chương trình hợp tác đã rơi vào tình trạng suy thoái. Nạn suy thoái trong nền kinh tế rộng lớn hơn và không liên quan đến việc giữ trẻ thì phức tạp hơn một tí, nhưng khó khăn của chương trình hợp tác giữ trẻ ở Capitol Hill đã minh họa hai trong ba nguyên tắc tương tác toàn nền kinh tế. Chi tiêu của một người là thu nhập của một người khác: cơ hội giữ trẻ chỉ phát sinh nếu người khác vắng nhà. Và nền kinh tế có thể bị ảnh hưởng do chi tiêu quá ít: khi không đủ số người muốn rời khỏi nhà, mọi người đều chán nản vì thiếu cơ hội giữ trẻ.

Còn chính sách thay đổi chi tiêu của chính phủ thì sao? Thật ra thì chương trình hợp tác ở Capitol Hill cũng đã áp dụng. Cuối cùng, vấn đề được giải quyết bằng cách phát hành nhiều phiếu hơn, và khi số phiếu để dành gia tăng, các cha mẹ đều muốn ra khỏi nhà nhiều hơn.

(hết chương 1)

-- Ảnh: Người tham gia chương trình hợp tác giữ trẻ nhanh chóng nhận ra rằng ban đêm họ càng ít vắng nhà thì mọi người càng bị thiệt.
-- Nguồn: Paul Krugman (Nobel kinh tế 2008), Robin Wells, Kathryn Graddy (2014) Kinh tế học căn bản, tái bản lần ba.
-- Bài được tập hợp tại Kinh tế học căn bản

Kiến thức phổ thông: Chủ nghĩa xã hội - Socialism

CHỦ NGHĨA XÃ HỘI - SOCIALISM

Thuật ngữ "chủ nghĩa xã hội" bao gồm nhiều vị trí, từ trung tả cho đến cực tả trong giải phổ chính trị. Chủ nghĩa xã hội là con đẻ của Cách mạng Công nghiệp Tây phương, ở cuối thế kỷ mười tám và thế kỷ mười chín, vốn tạo ra tầng lớp công nhân đô thị bị tước quyền bầu cử và bị bần cùng hóa, họ muốn có hành động tập thể - qua chính trị dân chủ, hoạt động công đoàn, hay cách mạng bạo lực - để đạt được công bằng xã hội.

Cốt lõi của chủ nghĩa xã hội là niềm tin vào bình quyền. Một phương diện của niềm tin này là tính quốc tế hóa, qua đó người theo chủ nghĩa xã hội lên án chủ nghĩa dân tộc, nạn phân biệt chủng tộc, và chủ nghĩa đế quốc, đồng thời chủ trương đoàn kết giai cấp công nhân trên toàn thế giới. Niềm tin vào bình quyền còn bao hàm niềm tin cho rằng kinh tế xã hội cần phải được sắp đặt vì sự tốt đẹp chung, chứ không vì lợi ích của kẻ đặc quyền và/hay kẻ nhẫn tâm. Trong khi người theo đường lối bảo thủ và tự do kinh tế thì tin rằng từng cá nhân phải cải thiện thân phận của mình, do đó chính phủ không nên can thiệp vào hoạt động của thị trường tự do, người theo chủ nghĩa xã hội lại tin rằng thành công hay thất bại của cá nhân thường là kết quả tình cờ của thời điểm ra đời và môi trường.

Người theo chủ nghĩa xã hội ôn hòa tin rằng để cân đối những bất công về kinh tế xã hội, giàu có cần được tái phân bổ theo một cách nào đó, chủ yếu thông qua chính sách thuế. Chính phủ có trách nhiệm giúp đỡ người bị thiệt thòi - chẳng hạn qua giáo dục và y tế miễn phí, trợ cấp hưu trí, trợ cấp thất nghiệp, và những khía cạnh phúc lợi khác nhằm cung cấp lưới bảo hiểm "từ lúc nằm nôi cho đến khi lìa đời". Nói chung đây là quan điểm của các đảng dân chủ xã hội, chẳng hạn Đảng Lao động ở Anh, vốn tin vào sự biến chuyển xã hội lần hồi và dân chủ.

Người theo chủ nghĩa xã hội triệt để hơn, dựa trên quan điểm của Karl Marz, tin rằng chỉ có cách mạng bạo lực mới có thể xóa bỏ bất công về kinh tế xã hội. Họ tin rằng chủ nghĩa xã hội chẳng qua là một bước đi đến chủ nghĩa cộng sản thực sự, ở đó giai cấp, tài sản riêng tư, và thậm chí quốc gia đều trở thành quá khứ.

-- Ảnh: Từ lúc nằm nôi cho đến khi lìa đời (http://image.shutterstock.com/display_pic_with_logo/878521/125455994/stock-vector-from-cradle-to-the-grave-man-s-life-from-beginning-to-the-end-icon-set-eps-file-125455994.jpg)
-- Nguồn: Ian Crofton (2013) Tóm lược các tư tưởng lớn: 200 khái niệm làm thay đổi thế giới được diễn giải tức thì, Quercus.
-- Bài được tập hợp tại Kiến thức phổ thông

Toán học trong vài phút: Số đại số và số siêu việt - Algebraic and Transcendental Numbers

SỐ ĐẠI SỐ VÀ SỐ SIÊU VIỆT - ALGEBRAIC AND TRANSCENDENTAL NUMBERS

Số đại số (algebraic number) là số vốn là nghiệm (solution) của phương trình chứa lũy thừa của biến x, tức đa thức với hệ số hữu tỷ, trong khi số siêu việt (transcendental number) là số không là nghiệm như vậy. Hệ số trong phương trình đa thức là những số nhân với từng biến. Ví dụ, √2 là số vô tỷ, vì không thể biểu diễn nó dưới dạng tỷ số của hai số nguyên. Đó cũng là số đại số vì đó là nghiệm của x² - 2 = 0. Phương trình này có các hệ số hữu tỷ là 1 và 2. Mọi số hữu tỷ đều là số đại số, vì bất kỳ tỷ số cho trước p/q đều có thể là nghiệm của qx - p = 0.

Ta có thể tưởng rằng số siêu việt là hiếm gặp, nhưng thật ra không phải vậy, và hầu hết mọi số vô tỷ đều là số siêu việt. Chứng minh điều này rất khó, nhưng một số được chọn ngẫu nhiên giữa 0 và 1 hầu như chắc chắn rằng đó là số siêu việt. Điều này nêu lên thắc mắc tại sao các nhà toán học lại dùng quá nhiều thời gian để giải những phương trình đại số, và lờ đi các số chiếm đa số.

-- Ảnh: Sơ đồ lồng nhau này trình bày các kiểu số thực chủ yếu, kèm theo những ví dụ quan trọng.
-- Nguồn: Paul Glendinning (2013) Toán học trong vài phút: 200 khái niệm được diễn giải tức thì, Quercus.
-- Bài được tập hợp tại Toán học trong vài phút (http://cstmind.blogspot.com/p/toan-hoc-pho-thong.html)