Một số là ước (divisor) của một số khác nếu số khác chia hết cho số đó, không có số dư. Vậy 4 là ước của 12, vì 12 chia 4 bằng đúng 3. Với phép tính này, 12 được gọi là số bị chia (dividend).
Nhưng 13 chia 4 thì sao? Trong trường hợp này, 4 không là ước của 13, vì 13 chia 4 được 3, nhưng dư 1. Đây là một cách nói rằng 12, tức 3 × 4, là số nguyên lớn nhất bé hơn số bị chia (13) mà chia hết cho 4, và 13 = 12 + 1. Bây giờ nếu lấy 1 chia 4, kết quả là ¼, vậy đáp án cho câu hỏi ban đầu của ta là 3¼.
3 và 4 đều là ước của 12 (cũng như 1, 2, 6, và 12). Nếu ta chia một số tự nhiên p cho một số tự nhiên khác là q, mà q không phải là ước của p, thì ta luôn được số dư r bé hơn q. Điều này nói chung nghĩa là p = kq + r, trong đó k là số tự nhiên, và r là số tự nhiên bé hơn q.
Với hai số bất kỳ p và q, ước số chung lớn nhất (greatest common divisor hay GCD hay highest common factor) là ước số lớn nhất của cả p và q. Vì 1 hiển nhiên là ước của cả hai số, GCD luôn lớn hơn hay bằng 1. Nếu GCD bằng 1, thì hai số đó được gọi là nguyên tố cùng nhau (coprime) - tức chúng không có cùng ước số dương nào ngoại trừ 1.
Ước số đưa đến một tập hợp số thú vị gọi là "số hoàn hảo" (perfect number). Đây là những số mà tổng các ước số dương của chúng, ngoại trừ bản thân chúng, thì đúng bằng số đó. Số hoàn hảo đầu tiên và đơn giản nhất là 6, bằng tổng các ước số của nó là 1, 2, và 3. Số hoàn hảo thứ hai là 28, bằng 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Ta phải đợi rất lâu mới tìm được số hoàn hảo thứ ba, đó là 496, bằng 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Số hoàn hảo là hiếm và khó tìm. Các nhà toán học chưa tìm được đáp án chung cuộc cho một số câu hỏi quan trọng, chẳng hạn liệu có vô hạn số hoàn hảo hay không, hay liệu mọi số hoàn hảo đều chẵn hay không.
-- Nguồn: Paul Glendinning (2013) Toán học trong vài phút: 200 khái niệm được diễn giải tức thì, Quercus.
-- Bài được tập hợp tại Toán học trong vài phút
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét